第55章 湍流摩擦系数公式和湍流模型方程
在边界层论文提交后，卓越开始向湍流方程进发。
第二天的上午，他坐在图书馆靠窗的位置，一个人坐在那，面前放着电脑，电脑旁有一堆书和本子，他右手持笔，左手撑着下巴，目露思索。
阳光透过窗户照射到他的身上，沐浴金光，好似伟人在思索。
他心道：“湍流是一种非常复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。”
“它是由粘性力引起的，由无数个漩涡叠加而成。”
“雷诺数是表征惯性力与粘性力的比值，也是判断层流与湍流的一个重要依据。”
“当雷诺数很小时，粘性力起主导作用，此时流态为层流。”
“当雷诺数很大时，惯性力起主导作用，此时流态为湍流。”
“而不管是粘性力，还是惯性力，它们都有摩擦力，毕竟湍流不是超流体。”
“所以，还要推导出一个湍流摩擦系数公式。”
“想要推导出湍流摩擦系数公式，那么就要先求出湍流流动的复杂性，而这就要用到工程上处理复杂问题的方法——半理论半经验的方法。”
“而湍流流动的复杂性公式是。”
说着他拿起笔，在本子上写。
【l=(μ+ε)du/dy】
“再进行量纲分析。”
“可采用伯金汉量纲分析方法。”
“那么就有伯金汉π定理。”
【F(π₁，π₂，……，πᵢ)=0】
“从湍流的实验和理论可以分析出几个确定影响因素。”
【∆Pƒ=ƒ(d，L，ub，p，μ，e)】
“这里包含7个物理量，3个基本量纲，可用4个准数。”
“最后是量纲计算，可得！”
【M ¹L^(-1)T^(-2)=M^(j+k)L^(a+b+c-3j-k+q)T^(-c-k)】
“通过两边的量纲相同可得方程组，接触a，c，j并带入(a)式，整理得。”
【……】
“……”
“湍流摩擦系数公式就是。”
【∑hƒ=(λ1/d+∑ξj)u²b/2
∑hƒ=λL+∑Lₑ/du²b/2】
“当湍流发生变化，分段计算再求和，可得。”
【∑hƒ=∑hƒ，i】
卓越长呼一口气，看着自己写的公式，验证一番后，他满意的点头。
“湍流摩擦系数求出来了，但依然不满足求出湍流方程。”
湍流方程是一个世纪难题，虽然卓越求出了N-S方程，让湍流有了理论基础。
但是这对于解决湍流还远远不够。
至今他已经解开了湍流的三种模式，雷诺数，边界层方程和湍流摩擦系数，而他还是没法解开湍流。
“任何理论被验证前，都要有一个模型。”
“所以，湍流也应该有湍流模型。”
所谓湍流模型是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。
说完他在电脑上搜索关于湍流模型信息，很快他就找到了。
“有四种模型？”卓越淡笑道：“也对，湍流毕竟被研究这么久了，有这么多模型也很正常。”
湍流模型有四种模型，分别是零方程模型、一方程模型、二方程模型和雷诺应力模型。
零方程模型分为两种，C-S模型和B-L模型。
一方程模型也有两种，S-A模型和B-B模型，S-A模型是从一种经验和量纲分析出发的，而B-B模型是从二方程模型简化而来。
二方程模型是k-e模型和k-omega模型。
“既然求出了湍流摩擦系数公式，那么模型就选S-A模型吧！”
S-A湍流模型是一个一方程模型，相对于二方程模型计算量小，稳定性好，同时又有较高的精度。
“首先是S-A湍流模型的基础方程。”
【DF/Dt=∂F/∂t(u.∇)F=扩散项+产生项-耗散项】
“扩散项是！”
“S-A的扩散项相比于其余模型的扩散项更加的保守，因此要引入非保守的扩散项，要在其中添加vₜ的一阶微分，所以可得扩散项的表达式为。”
【扩散项=1/σ[∇.(vₜ∇vₜ)+cb₂(∇vₜ)²]】
“接下来是产生项。”
“S-A模型主要用于空气动力学研究，主要对象往往是存在大量涡量区域的湍流。”
“因此S-A模型采用另一种对涡量大小的表达。”
【ω=√2Ωᵢⱼζ
Ωᵢⱼ=1/2(∂Uᵢ/∂xⱼ-∂Uⱼ/∂xᵢ)】
“所以可得产生项。”
【产生项=cb₁Svₜ
S=√2ΩᵢⱼΩᵢⱼ，Ωᵢⱼ=1/2(∂Uᵢ/∂xⱼ-∂Uⱼ/∂xᵢ)】
“最后是耗散项！”
“S-A认为在边界层中，壁面的阻碍效应通过压强使一定距离内就能感受到，对于耗散项雷诺应力也有密切的联系。”
“综合量纲考虑，得到耗散项的第一种形式为。”
【-cw ₁(vₜ/d)²】
“又通过实验可以知道模型一方面在对数层内能有很好的近似解，但对平板边界层来说表面摩擦阻力系数值太小，在边界层以外的区域耗散太慢。”
“所以，应该将S-A进行改进，让S-A在这第一种形式之前乘一个无量纲函数ƒw，它在对数层等于1.”
“所以，可得S-A模型的耗散项为。”
【耗散项=-cw¹ƒw(vₜ/d)²】
“好了，模型基本建立起来了。”
“下面开始校准。”
“理论校准肯定不行，要进行实验校准。”
“就是不知道学校哪里可以进行实验校准？”
想了一下，他收拾东西准备去找杨教授，这种事他肯定不知道，但杨教授应该是知道的。
杨教授此时正和宗教授在家里大眼瞪小眼。
一旁的杨烁和一位年龄与他相仿的年轻女性局促不安的坐在沙发上。
这位年轻女性就是杨烁的女友宗晴晴，一米六二的身高，五官甜美，皮肤白暂。
两人几个小时前在外约会，被宗教授的学生发现，然后将这事告诉宗教授。
宗教授就将宗晴晴叫回家问，没想到事情是真的，于是就带着宗晴晴来找杨教授和杨烁。
两人玩归玩，闹归闹，但别把感情开玩笑，这还发展出真感情了。
宗教授心中很不是滋味，自己的宝贝孙女，竟然被杨烁这小瘪犊子摘了。
他越是看杨烁就越是不顺眼，连带着，以前看杨教授不顺眼，现在更不顺眼。
这一家子没一个好的，杨教授把卓越带走了，杨烁又把自己孙女带走了，简直是过分。
“老宗啊！”许久后，杨教授打破平静，道：“我看他们在一起很合适吗！”
对于杨烁和宗晴晴在一起，杨教授心里乐开花了，自己和宗教授斗了这么多年，没想到是自己孙子为自己扳回来一局。
“屁！”宗教授愤怒的道：“杨书痴，这事你想都别想，你孙子想娶我孙女，你还是去睡觉吧，梦里什么都有。”
“老宗，咱们都是高级知识分子，你可别思想老古董啊，现在年轻人都讲究自由恋爱，你也要与时俱进。”
“我可以让晴晴自由恋爱，但就是不能选你老杨家的人。”
“我家怎么了？我家是配不上你家了？”杨教授瞪眼道：“你我都是同一所大学的教授，他们的父辈也是实力相当，我们两家可以说是门当户对，你说我家是哪一点不如你家？”
“反正就是不行！”宗教授梗着脖子道。
他其实对杨烁挺满意的，他是对杨思理有意见。
两人争斗了这么多年，前段时间更是因为卓越而失败。
当然，最后杨思理也没得到好，卓越最后去麻省了。
但他是嫁孙女，还是嫁给杨思理的孙子杨烁，以后就是杨家人了，这看上去自己就低杨思理一头了。
他心中很是烦躁！
这时，门被敲响，杨老夫人从屋里走出来，看在客厅中大眼瞪小眼的两人道：“你俩行了啊，他们两个年轻人谈恋爱就让他们谈呗。”
杨老夫人年轻时是才女，当时和宗教授，还有杨教授是同学，所以三人从年轻时就认识了。
说完就去开门。
“卓越！”杨老夫人惊喜的道：“你可好久没来了啊！”
“师母！”卓越道：“老师在吗？”
“在呢，宗教授也在！”
“宗教授也在，我也好久没看到宗教授了。”
说着卓越走进屋，但一看眼前情形就感到不对。
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第二天的上午，他坐在图书馆靠窗的位置，一个人坐在那，面前放着电脑，电脑旁有一堆书和本子，他右手持笔，左手撑着下巴，目露思索。
阳光透过窗户照射到他的身上，沐浴金光，好似伟人在思索。
他心道：“湍流是一种非常复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。”
“它是由粘性力引起的，由无数个漩涡叠加而成。”
“雷诺数是表征惯性力与粘性力的比值，也是判断层流与湍流的一个重要依据。”
“当雷诺数很小时，粘性力起主导作用，此时流态为层流。”
“当雷诺数很大时，惯性力起主导作用，此时流态为湍流。”
“而不管是粘性力，还是惯性力，它们都有摩擦力，毕竟湍流不是超流体。”
“所以，还要推导出一个湍流摩擦系数公式。”
“想要推导出湍流摩擦系数公式，那么就要先求出湍流流动的复杂性，而这就要用到工程上处理复杂问题的方法——半理论半经验的方法。”
“而湍流流动的复杂性公式是。”
说着他拿起笔，在本子上写。
【l=(μ+ε)du/dy】
“再进行量纲分析。”
“可采用伯金汉量纲分析方法。”
“那么就有伯金汉π定理。”
【F(π₁，π₂，……，πᵢ)=0】
“从湍流的实验和理论可以分析出几个确定影响因素。”
【∆Pƒ=ƒ(d，L，ub，p，μ，e)】
“这里包含7个物理量，3个基本量纲，可用4个准数。”
“最后是量纲计算，可得！”
【M ¹L^(-1)T^(-2)=M^(j+k)L^(a+b+c-3j-k+q)T^(-c-k)】
“通过两边的量纲相同可得方程组，接触a，c，j并带入(a)式，整理得。”
【……】
“……”
“湍流摩擦系数公式就是。”
【∑hƒ=(λ1/d+∑ξj)u²b/2
∑hƒ=λL+∑Lₑ/du²b/2】
“当湍流发生变化，分段计算再求和，可得。”
【∑hƒ=∑hƒ，i】
卓越长呼一口气，看着自己写的公式，验证一番后，他满意的点头。
“湍流摩擦系数求出来了，但依然不满足求出湍流方程。”
湍流方程是一个世纪难题，虽然卓越求出了N-S方程，让湍流有了理论基础。
但是这对于解决湍流还远远不够。
至今他已经解开了湍流的三种模式，雷诺数，边界层方程和湍流摩擦系数，而他还是没法解开湍流。
“任何理论被验证前，都要有一个模型。”
“所以，湍流也应该有湍流模型。”
所谓湍流模型是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。
说完他在电脑上搜索关于湍流模型信息，很快他就找到了。
“有四种模型？”卓越淡笑道：“也对，湍流毕竟被研究这么久了，有这么多模型也很正常。”
湍流模型有四种模型，分别是零方程模型、一方程模型、二方程模型和雷诺应力模型。
零方程模型分为两种，C-S模型和B-L模型。
一方程模型也有两种，S-A模型和B-B模型，S-A模型是从一种经验和量纲分析出发的，而B-B模型是从二方程模型简化而来。
二方程模型是k-e模型和k-omega模型。
“既然求出了湍流摩擦系数公式，那么模型就选S-A模型吧！”
S-A湍流模型是一个一方程模型，相对于二方程模型计算量小，稳定性好，同时又有较高的精度。
“首先是S-A湍流模型的基础方程。”
【DF/Dt=∂F/∂t(u.∇)F=扩散项+产生项-耗散项】
“扩散项是！”
“S-A的扩散项相比于其余模型的扩散项更加的保守，因此要引入非保守的扩散项，要在其中添加vₜ的一阶微分，所以可得扩散项的表达式为。”
【扩散项=1/σ[∇.(vₜ∇vₜ)+cb₂(∇vₜ)²]】
“接下来是产生项。”
“S-A模型主要用于空气动力学研究，主要对象往往是存在大量涡量区域的湍流。”
“因此S-A模型采用另一种对涡量大小的表达。”
【ω=√2Ωᵢⱼζ
Ωᵢⱼ=1/2(∂Uᵢ/∂xⱼ-∂Uⱼ/∂xᵢ)】
“所以可得产生项。”
【产生项=cb₁Svₜ
S=√2ΩᵢⱼΩᵢⱼ，Ωᵢⱼ=1/2(∂Uᵢ/∂xⱼ-∂Uⱼ/∂xᵢ)】
“最后是耗散项！”
“S-A认为在边界层中，壁面的阻碍效应通过压强使一定距离内就能感受到，对于耗散项雷诺应力也有密切的联系。”
“综合量纲考虑，得到耗散项的第一种形式为。”
【-cw ₁(vₜ/d)²】
“又通过实验可以知道模型一方面在对数层内能有很好的近似解，但对平板边界层来说表面摩擦阻力系数值太小，在边界层以外的区域耗散太慢。”
“所以，应该将S-A进行改进，让S-A在这第一种形式之前乘一个无量纲函数ƒw，它在对数层等于1.”
“所以，可得S-A模型的耗散项为。”
【耗散项=-cw¹ƒw(vₜ/d)²】
“好了，模型基本建立起来了。”
“下面开始校准。”
“理论校准肯定不行，要进行实验校准。”
“就是不知道学校哪里可以进行实验校准？”
想了一下，他收拾东西准备去找杨教授，这种事他肯定不知道，但杨教授应该是知道的。
杨教授此时正和宗教授在家里大眼瞪小眼。
一旁的杨烁和一位年龄与他相仿的年轻女性局促不安的坐在沙发上。
这位年轻女性就是杨烁的女友宗晴晴，一米六二的身高，五官甜美，皮肤白暂。
两人几个小时前在外约会，被宗教授的学生发现，然后将这事告诉宗教授。
宗教授就将宗晴晴叫回家问，没想到事情是真的，于是就带着宗晴晴来找杨教授和杨烁。
两人玩归玩，闹归闹，但别把感情开玩笑，这还发展出真感情了。
宗教授心中很不是滋味，自己的宝贝孙女，竟然被杨烁这小瘪犊子摘了。
他越是看杨烁就越是不顺眼，连带着，以前看杨教授不顺眼，现在更不顺眼。
这一家子没一个好的，杨教授把卓越带走了，杨烁又把自己孙女带走了，简直是过分。
“老宗啊！”许久后，杨教授打破平静，道：“我看他们在一起很合适吗！”
对于杨烁和宗晴晴在一起，杨教授心里乐开花了，自己和宗教授斗了这么多年，没想到是自己孙子为自己扳回来一局。
“屁！”宗教授愤怒的道：“杨书痴，这事你想都别想，你孙子想娶我孙女，你还是去睡觉吧，梦里什么都有。”
“老宗，咱们都是高级知识分子，你可别思想老古董啊，现在年轻人都讲究自由恋爱，你也要与时俱进。”
“我可以让晴晴自由恋爱，但就是不能选你老杨家的人。”
“我家怎么了？我家是配不上你家了？”杨教授瞪眼道：“你我都是同一所大学的教授，他们的父辈也是实力相当，我们两家可以说是门当户对，你说我家是哪一点不如你家？”
“反正就是不行！”宗教授梗着脖子道。
他其实对杨烁挺满意的，他是对杨思理有意见。
两人争斗了这么多年，前段时间更是因为卓越而失败。
当然，最后杨思理也没得到好，卓越最后去麻省了。
但他是嫁孙女，还是嫁给杨思理的孙子杨烁，以后就是杨家人了，这看上去自己就低杨思理一头了。
他心中很是烦躁！
这时，门被敲响，杨老夫人从屋里走出来，看在客厅中大眼瞪小眼的两人道：“你俩行了啊，他们两个年轻人谈恋爱就让他们谈呗。”
杨老夫人年轻时是才女，当时和宗教授，还有杨教授是同学，所以三人从年轻时就认识了。
说完就去开门。
“卓越！”杨老夫人惊喜的道：“你可好久没来了啊！”
“师母！”卓越道：“老师在吗？”
“在呢，宗教授也在！”
“宗教授也在，我也好久没看到宗教授了。”
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