第十八章礼包
“即考虑使得()0pαα=a的最小多项式()pxα，其中向量α是给定的。设线性变换a的最小多项式为()mx，类似的证明可知”
“()pxα是()mx的因式。于是当α遍历v中所有非零向量时，只能得到有限个()pxα，不妨记作1()，，()kpxpxl.定义”
“{:()0}iivvpαα=∈=a
显然1kvvv?∪∪l.
但一个熟知的结论是，若1，，kvvl都是v的真子空间，则1kvvv?∪∪l不成立。换句话说，有限个真子空间的并集不能覆盖住整个v.于是必有某个下标
j使得jvv=，此时()()jpxmx=且maxdeg()deg()pxmxα=.
(1)用反证法。假设任取非零向量α，向量组1，，，nααα?laa都是线性相关的。则所有非零向量α对应最小多项式()pxα次数都不超过1n?，这与线性变换a的最小多项式次数是n的条件矛盾。
（2)前面证明了存在非零向量α，使得1，，，nααα?laa是v的一组基。所以任取非零向量vv∈，存在多项式()fx，使得()vfα=a.任取线性变换b，满足
=abba.则存在多项式()gx，使得()gαα=ba.我们只需证明()g=ba.
任取非零向量vv∈，存在多项式()fx，使得()vfα=a.所以
()()()()()()()vfffggfgvαααα=====bbaabaaaaa
由v的任意性可知()g=ba.即任何与a可交换的线性变换，均可表示成a的多项式。”
“你看看，我解的对不对？”何子寻把写好的草稿纸递回给黑框眼镜女生，颇为得意的问道。
“谢谢大佬，你是数学系的吗？”黑框眼镜女生愣愣的问道，这家伙，解题的速度，比自己听题的速度还快，好家伙。有颜还有才，这难道就是传说中别人家的小孩？
“很简单的，计算本身就没什么难度，我不是数学系的，明天我就要高考了，你也是高三党？”注意到了黑框眼镜女生的表情，何子寻颇为得意的感兴趣的问了起来。
黑框眼镜女生涨红了脸：“我考研的。”
话一说完，脸涨的更红了。
这谁家的小孩？
这么妖孽还放出来？
不知道打击人是不对的吗？
尼妹啊，
大家都有腰间盘，为何就你如此突出！
一个高三的小孩，长的帅这就算了，还有才。
心好累！
“小孩，你叫什么？给姐姐一个机会感谢你，我叫陈萍萍。”平复了会儿要暴走的情绪，陈萍萍咬着牙问道。
眼前的男孩让她内心砰砰砰的跳，修长挺拔的身材，俊美柔和的脸庞浑身散发着沉稳的贵族气质，独来独往的身影橼梭在校园里，简直迷死个人了。
嗯，何子寻不知道自己又一次在别人的心里当了别人家的孩子系列，就算是知道了，他也没啥意外，甭管前世还是今生从小到大习惯了。
会不会被打？…
“不好意思，我还要看书。”何子寻淡淡的扫了一眼陈萍萍说道，而后就没理会陈萍萍，沉浸在翻书的路上无法自拔。
……
“爸妈，我回来了。”在s大翻了一天的书，何子寻回到家时已经是晚上8点。
“宝贝，你回来了，晚饭在厨房里，我现在去帮你热热。”何妈妈苏晴从书房里走了出来，说道。
放下手里的背包何子寻笑道：“嗯嗯，谢谢妈妈，咱们家有往年的高考试卷吗？”
“往年的高考卷？老何，宝贝要往年的高考试卷，你找找。”何妈妈苏晴想了想后，朝着书房里的何爸爸说道。
看着母亲忙碌的背影，感动弥漫心头。
“妈，那我就去书房了，今天在图书馆努力了一天，我想试试自己的水平。”说完后，何子寻便直接走进了书房。
接过了何爸爸递过来的往年高考试题，何子寻抽出数学试卷便专心审题，只是越看下去脸上的表情越发怪异。好简单，这试题也太简单了。
没有多想，何子寻抓起笔就在试卷了填写了起来，选择题、填空题、计算题…
一题题的做了下来，何子寻几乎没有停下过笔。
何爸爸在另一个书桌上忙着自己的备案，随着自家儿子沉浸在书写后，便不在过多的关注，但是随着沙沙声越来越快，声音也就越来越响亮，何爸爸抬头看了一眼自家儿子在认真的做题，忍不住走上前弯腰低头看了起来。
半个小时后，写完最后一题的何子寻揉了揉写的发酸的手腕，在心里默默的感慨一番，到底是已经习惯了用电脑打字，现在手写也就不到半个小时就停下来揉了2次手。
“小寻，写完了？要不要检查一下？”站在何子寻身后的何爸爸，一脸的惊讶，这还是自家那个三天打鱼两天晒网的儿子？虽然他也知道自家儿子非常聪明，就是不爱读书，但成绩一直在年级前十，他也非常满足了。
这几天何子寻的努力何爸爸也看在眼里，虽然听儿子说自己是要成为高考高考状元的男人，何爸爸也一笑而过只求自家儿子能够在高考时不发挥失常就好。
可是现在自己看到了什么？答题卡上工工整整的字迹，只用了不到半个小时就写完的答题卡，何爸爸虽然不是教数学的，好歹也是硕士毕业生对错基本一眼就能够看出来。但他却在何子寻的答题卡上找不到任何的错误，计算题回答的简直比标准答案还详细。
作妖了，儿子。
“宝贝，写完了就出来吃饭吧。”何妈妈没管何爸爸的惊骇，看到何子寻答完题，开口说道。
“好的，妈妈我就来。”应声，何子寻把答题卡放在书桌上走出书房。
何子寻走进卫生间，用冷水洗了把脸，然后再用毛巾擦干净水珠，洗了洗手才走出卫生间。
不用何子寻动手，何妈妈苏晴就把一个个家常菜摆在了何子寻面前。
何子寻吞了口唾沫，看着何妈妈说道：“妈，你饿不饿，我们一起吃？”
何妈妈苏晴轻轻一笑，“宝贝，妈妈不饿，你自己吃吧！快点，冷了就不好吃了。”
何子寻点了点头，便大快朵颐起来。
说实话，他还真饿了，在s大图书馆下午五点钟就吃了晚饭，现在都过去了三四个小时了。翻书可不轻松，一目十行的阅读量，过目不忘的记忆都是需要消耗能量的，消耗的能量不在少数，这个时候肚子感觉非常的饿。
“真好吃，”竖了竖大拇指，何子寻边吃边说道。
吃完饭后，何子寻又回到了书房，继续刷往年的高考试题，何爸何妈则是在一旁修改试卷。
十一点，何子寻洗漱完毕后躺在床上准备睡觉。
“叮，系统更新完毕，宿主可前往系统空间查询更新日志，祝宿主生活愉快。”
一声久违的系统提示音把准备休息的何子寻炸了起来，他非常想知道这次系统更新的内容。
进入系统空间，依旧灰蒙蒙一片，想象中的星空物语没有，山川河流也没有。
“系统，查看更新日志。”看着这系统空间一丁点进化都没有，何子寻满脸嫌弃的开口道。
“本次更新维护修改bug剥夺卡、现实货币兑换积分。”
“系统bug无限刷积分剥夺卡增加世界使用限制为2次。”
“系统bug现实货币兑换积分，已修改为在不扣除现实货币的前提下增加积分。”
……
“限制了剥夺卡的世界使用次数？”何子寻看着系统更新日志里面的信息，满脸疑惑，不由得开口问道：“系统，难道我还能去别的世界？”
“请宿主自行发现。”系统淡淡的声音在何子寻的脑海里传出。
这系统真心简直不能忍，何子寻压了压堵在心里的气，没接系统那贱样的茬，继续看着系统日志。
现实货币兑换积分bug的改动挺大，之前没发现bug时，现实货币兑换积分是需要用扣除货币的。改动之后现实货币兑换积分就不需要扣除货币，就能够兑换积分。
简单的一句概括，赚了多少钱，系统就会自动增加积分。
这次的现实货币兑换积分bug的改动，何子寻前天系统更新时就已经猜到了，没感觉到意外。
“这次系统bug更新也太中规中矩了，一点惊喜都没有，就是可以bug没使用到。”何子寻自言自语的低声嘀咕着，想到bug竟然没能使用就被和谐，心脏不禁一阵抽搐。
好疼，心好疼。
强行改变注意力，何子寻按耐着滴血的内心继续看着系统更新日志。
“系统bug已补全，感谢宿主发现高等bug一次，低等bug一次。”
“嗯？”看着看着，何子寻感觉好像发现了什么不的了的存在。系统的bug竟然还划分等级，意思是说这系统的bug很多？
这破系统，简直就没谁了。
“恭喜宿主获得发现高等bug大礼包一份，低等bug小礼包一份。已存放系统储物空间，宿主请前往储物空间查询。欢迎宿主继续查缺补漏，祝宿主生活愉快。”
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“()pxα是()mx的因式。于是当α遍历v中所有非零向量时，只能得到有限个()pxα，不妨记作1()，，()kpxpxl.定义”
“{:()0}iivvpαα=∈=a
显然1kvvv?∪∪l.
但一个熟知的结论是，若1，，kvvl都是v的真子空间，则1kvvv?∪∪l不成立。换句话说，有限个真子空间的并集不能覆盖住整个v.于是必有某个下标
j使得jvv=，此时()()jpxmx=且maxdeg()deg()pxmxα=.
(1)用反证法。假设任取非零向量α，向量组1，，，nααα?laa都是线性相关的。则所有非零向量α对应最小多项式()pxα次数都不超过1n?，这与线性变换a的最小多项式次数是n的条件矛盾。
（2)前面证明了存在非零向量α，使得1，，，nααα?laa是v的一组基。所以任取非零向量vv∈，存在多项式()fx，使得()vfα=a.任取线性变换b，满足
=abba.则存在多项式()gx，使得()gαα=ba.我们只需证明()g=ba.
任取非零向量vv∈，存在多项式()fx，使得()vfα=a.所以
()()()()()()()vfffggfgvαααα=====bbaabaaaaa
由v的任意性可知()g=ba.即任何与a可交换的线性变换，均可表示成a的多项式。”
“你看看，我解的对不对？”何子寻把写好的草稿纸递回给黑框眼镜女生，颇为得意的问道。
“谢谢大佬，你是数学系的吗？”黑框眼镜女生愣愣的问道，这家伙，解题的速度，比自己听题的速度还快，好家伙。有颜还有才，这难道就是传说中别人家的小孩？
“很简单的，计算本身就没什么难度，我不是数学系的，明天我就要高考了，你也是高三党？”注意到了黑框眼镜女生的表情，何子寻颇为得意的感兴趣的问了起来。
黑框眼镜女生涨红了脸：“我考研的。”
话一说完，脸涨的更红了。
这谁家的小孩？
这么妖孽还放出来？
不知道打击人是不对的吗？
尼妹啊，
大家都有腰间盘，为何就你如此突出！
一个高三的小孩，长的帅这就算了，还有才。
心好累！
“小孩，你叫什么？给姐姐一个机会感谢你，我叫陈萍萍。”平复了会儿要暴走的情绪，陈萍萍咬着牙问道。
眼前的男孩让她内心砰砰砰的跳，修长挺拔的身材，俊美柔和的脸庞浑身散发着沉稳的贵族气质，独来独往的身影橼梭在校园里，简直迷死个人了。
嗯，何子寻不知道自己又一次在别人的心里当了别人家的孩子系列，就算是知道了，他也没啥意外，甭管前世还是今生从小到大习惯了。
会不会被打？…
“不好意思，我还要看书。”何子寻淡淡的扫了一眼陈萍萍说道，而后就没理会陈萍萍，沉浸在翻书的路上无法自拔。
……
“爸妈，我回来了。”在s大翻了一天的书，何子寻回到家时已经是晚上8点。
“宝贝，你回来了，晚饭在厨房里，我现在去帮你热热。”何妈妈苏晴从书房里走了出来，说道。
放下手里的背包何子寻笑道：“嗯嗯，谢谢妈妈，咱们家有往年的高考试卷吗？”
“往年的高考卷？老何，宝贝要往年的高考试卷，你找找。”何妈妈苏晴想了想后，朝着书房里的何爸爸说道。
看着母亲忙碌的背影，感动弥漫心头。
“妈，那我就去书房了，今天在图书馆努力了一天，我想试试自己的水平。”说完后，何子寻便直接走进了书房。
接过了何爸爸递过来的往年高考试题，何子寻抽出数学试卷便专心审题，只是越看下去脸上的表情越发怪异。好简单，这试题也太简单了。
没有多想，何子寻抓起笔就在试卷了填写了起来，选择题、填空题、计算题…
一题题的做了下来，何子寻几乎没有停下过笔。
何爸爸在另一个书桌上忙着自己的备案，随着自家儿子沉浸在书写后，便不在过多的关注，但是随着沙沙声越来越快，声音也就越来越响亮，何爸爸抬头看了一眼自家儿子在认真的做题，忍不住走上前弯腰低头看了起来。
半个小时后，写完最后一题的何子寻揉了揉写的发酸的手腕，在心里默默的感慨一番，到底是已经习惯了用电脑打字，现在手写也就不到半个小时就停下来揉了2次手。
“小寻，写完了？要不要检查一下？”站在何子寻身后的何爸爸，一脸的惊讶，这还是自家那个三天打鱼两天晒网的儿子？虽然他也知道自家儿子非常聪明，就是不爱读书，但成绩一直在年级前十，他也非常满足了。
这几天何子寻的努力何爸爸也看在眼里，虽然听儿子说自己是要成为高考高考状元的男人，何爸爸也一笑而过只求自家儿子能够在高考时不发挥失常就好。
可是现在自己看到了什么？答题卡上工工整整的字迹，只用了不到半个小时就写完的答题卡，何爸爸虽然不是教数学的，好歹也是硕士毕业生对错基本一眼就能够看出来。但他却在何子寻的答题卡上找不到任何的错误，计算题回答的简直比标准答案还详细。
作妖了，儿子。
“宝贝，写完了就出来吃饭吧。”何妈妈没管何爸爸的惊骇，看到何子寻答完题，开口说道。
“好的，妈妈我就来。”应声，何子寻把答题卡放在书桌上走出书房。
何子寻走进卫生间，用冷水洗了把脸，然后再用毛巾擦干净水珠，洗了洗手才走出卫生间。
不用何子寻动手，何妈妈苏晴就把一个个家常菜摆在了何子寻面前。
何子寻吞了口唾沫，看着何妈妈说道：“妈，你饿不饿，我们一起吃？”
何妈妈苏晴轻轻一笑，“宝贝，妈妈不饿，你自己吃吧！快点，冷了就不好吃了。”
何子寻点了点头，便大快朵颐起来。
说实话，他还真饿了，在s大图书馆下午五点钟就吃了晚饭，现在都过去了三四个小时了。翻书可不轻松，一目十行的阅读量，过目不忘的记忆都是需要消耗能量的，消耗的能量不在少数，这个时候肚子感觉非常的饿。
“真好吃，”竖了竖大拇指，何子寻边吃边说道。
吃完饭后，何子寻又回到了书房，继续刷往年的高考试题，何爸何妈则是在一旁修改试卷。
十一点，何子寻洗漱完毕后躺在床上准备睡觉。
“叮，系统更新完毕，宿主可前往系统空间查询更新日志，祝宿主生活愉快。”
一声久违的系统提示音把准备休息的何子寻炸了起来，他非常想知道这次系统更新的内容。
进入系统空间，依旧灰蒙蒙一片，想象中的星空物语没有，山川河流也没有。
“系统，查看更新日志。”看着这系统空间一丁点进化都没有，何子寻满脸嫌弃的开口道。
“本次更新维护修改bug剥夺卡、现实货币兑换积分。”
“系统bug无限刷积分剥夺卡增加世界使用限制为2次。”
“系统bug现实货币兑换积分，已修改为在不扣除现实货币的前提下增加积分。”
……
“限制了剥夺卡的世界使用次数？”何子寻看着系统更新日志里面的信息，满脸疑惑，不由得开口问道：“系统，难道我还能去别的世界？”
“请宿主自行发现。”系统淡淡的声音在何子寻的脑海里传出。
这系统真心简直不能忍，何子寻压了压堵在心里的气，没接系统那贱样的茬，继续看着系统日志。
现实货币兑换积分bug的改动挺大，之前没发现bug时，现实货币兑换积分是需要用扣除货币的。改动之后现实货币兑换积分就不需要扣除货币，就能够兑换积分。
简单的一句概括，赚了多少钱，系统就会自动增加积分。
这次的现实货币兑换积分bug的改动，何子寻前天系统更新时就已经猜到了，没感觉到意外。
“这次系统bug更新也太中规中矩了，一点惊喜都没有，就是可以bug没使用到。”何子寻自言自语的低声嘀咕着，想到bug竟然没能使用就被和谐，心脏不禁一阵抽搐。
好疼，心好疼。
强行改变注意力，何子寻按耐着滴血的内心继续看着系统更新日志。
“系统bug已补全，感谢宿主发现高等bug一次，低等bug一次。”
“嗯？”看着看着，何子寻感觉好像发现了什么不的了的存在。系统的bug竟然还划分等级，意思是说这系统的bug很多？
这破系统，简直就没谁了。
“恭喜宿主获得发现高等bug大礼包一份，低等bug小礼包一份。已存放系统储物空间，宿主请前往储物空间查询。欢迎宿主继续查缺补漏，祝宿主生活愉快。”
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