第一百三十八章 蛋糕
这道题目看起来挺新颖的，其实不算难。
伊诚提笔作答：
首先从题目知道：
假设地主为集合C
那么C的牌数为10，可以写作集合C{C1、C2……C10}
A的集合为8，同样A{A1、A2……A8}
……
然后C和A都有一个顺子：
可以先设至少有C1+1=C2，C2+1=C3……
同样A1+1=A2、A2+1=A3……
B说他只有一个对子，并且B没有顺子。
可以设定B1=B2，并且没有连续5个数之间的差值互相为1.
又几个集合中的元素分别来自于1-13的两组数当中，它们之间是互斥的关系。
即黑桃1如果在A中出现，必然不会在B和C中出现。
……
伊诚一路写下来，发现这题是个体力活。
这道题难的不是前面的部分，而在于后面的博弈。
伊诚把前半部分写完。
然后再继续做拆分整理：
A可以拆分成两个集合：顺子集合和非顺子集合，
B拆分为对子集合和单牌集合，
C拆分为顺子集合和非顺集合，
由C先出牌。
那么就会存在集合C顺子比集合A顺子大或者小的两种情况……
然后大致可以得到几种模型：
……
伊诚一边做题一边摇着头。
可以用昨天狼人杀的纳什均衡来做处理，也可以用最笨的穷举法来做。
也就是说，这题注定拉不开分差了。
数量级并不大，其他人通过穷举，2个小时之内肯定能搞定。
哎。
难受啊难受。
伊诚在心底里叹息着。
最后根据不同的牌型，整理出对应的概率模型，并且分别讨论一番。
伊诚这题就算结束了。
ok。
21分到手。
但是这题计算量大，浪费了他差不多一个小时的时间。
……
伊诚继续前进，来到第三题。
【在生日派对上，有一群小伙伴，作为寿星得为他们切蛋糕，蛋糕得保证切得每一块都是同样体积同样奶油，这样才不会有小朋友不开心。
s是xy平面上的一个凸集。
凸集：实数 R （或复数 C 上）向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内。
对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。】
题目中特地对凸集做了解释。
蛋糕是明显的凸集，可以用肉眼就能看出来的。
伊诚对此没有任何疑问。
他继续往下审题——
【假设蛋糕的高度为h，h>0，定义在xyz三维空间中一个点集C={（x，y，z）|（x，y，z∈S，且0小于等于z小于等于h）}
那么C为以S为基准的一个高度为h的蛋糕。
蛋糕的高度是一致的，假定C除了底面之外的其他表面均匀地涂上了奶油。
那么，讲一个平面s划分成k个集合，如果这k个集合的面积想通，且所占的原s的周边长度也相同，则称其为s的一个k完美划分。
如果它的所有划分线都是从一个点出发的线段，则称该划分为一个星状完美划分。
试证明：
任何一个平面凸集均存在3星状完美划分。】
卧槽，一个切蛋糕，你罗里吧嗦说这么多干嘛？
伊诚对出题人的语文水平表示怀疑。
他已经是lv2的文学学习水平，加上8期中国诗词大会擂主，他现在有资格吐槽。
简单来说，比如一个圆，在其中划分一个米字，变成6等分，那么这个米字型划分就被称为6星完美划分。
现在只需要证明的是不管任何形状，只要是凸集，就能3星完美划分。
伊诚开始在草稿上进行论证。
但是工作进行了半个小时，他突然发现——
你妹的这题看起来简单，实际上却非常难。
为什么呢？
因为在证明这个题目之前，需要连续证明7个引理。
这比刺杀雅典娜只差了5宫而已。
伊诚心想，你们就算是7个葫芦娃，老子也要把你们打死。
大娃是：
证明：对于凸集S，存在一个边的3等长划分：S1、S2、S3，满足S1、S2、S3围成的面积均小于S面积的1/3。
二娃：
证明：对于凸集S，S1、S2、S3是S的边的一个等长划分，那么S1、S2、S3所分别围成的面积中至多只有一个不小于S面积的1/3
……
七娃：如果将S的边划分成连续长度相同的三段，这三段分别包围的面积若都不超过S面积的1/3，那么命题得证——任何一个平面凸集均存在3星完美划分。
伊诚只觉得浑身燥热，大汗淋漓。
一路祭出各种法宝，终于把7个葫芦娃一一降服。
最后爷爷就是来送的。
他顺利收下了爷爷。
当他抬起头来的时候，时间已经到了11点半。
没有想到最后这道题这么耗时。
不愧是中国奥数竞赛的题目。
3道题目，就像是过了大半生一样。
卷面上，伊诚密密麻麻写满了字，包括草稿纸都写得满满当当的。
他做完题目，稍微用手按压着太阳穴，让大脑清醒一些。
过了两分钟，开始检查答案。
……
“嘤嘤嘤，孟老师，我对不起您。”
考完试之后，孟老师来接众人。
还没回酒店，几个选手就被考哭了。
武青青一把鼻涕一把泪地说到，“我辜负了您的尊尊教诲，我不配去清北。”
“我也是，我是个垃圾……”江文博哭丧着脸，“我连第一题都没什么把握，第二题穷举到一半时间就没了……”
“你知道吗，你最大的问题就在于思想不正，只想着泡妞。”夏文雨用手指戳他的头。
江文博立刻红了脸，不敢看李安若。
“都怪李安若，前天带着我们玩狼人杀，把脑子玩坏了。”
“哎，你这可就怪不得她了。”伊诚站出来回应道，“要知道今天的斗地主也要运用纳什均衡的。”
“纳什……那是什么鬼？”
众人一脸沮丧。
老孟从众人的表情和刚才的对话中有了一定的判断。
伊诚这个小伙子资质很高，这次的题目肯定难不倒他，看他刚才说得头头是道，应该都答出来了。
另外颜姿琦刚才一语不发，面色有点凝重，恐怕有点麻烦。
其他的几个，年纪最小的方铭宇一脸沉默，不知道思考什么，也许有一定把握。
……
武青青哭天喊地的，跟江文博有得一拼，这两个人估计只能拿一些过程分，想拿到国一估计无望。
更别说是进国家集训队出战明年的IMO了。
“孟老师，您说得对，我只配上江城大学这种二流。”武青青擦掉脸上的眼泪，目露凶光，“我回去以后就改志愿。”
呃……
“不至于不至于。”老孟伸手拍了拍武青青的后脑，“回去再说。”
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伊诚提笔作答：
首先从题目知道：
假设地主为集合C
那么C的牌数为10，可以写作集合C{C1、C2……C10}
A的集合为8，同样A{A1、A2……A8}
……
然后C和A都有一个顺子：
可以先设至少有C1+1=C2，C2+1=C3……
同样A1+1=A2、A2+1=A3……
B说他只有一个对子，并且B没有顺子。
可以设定B1=B2，并且没有连续5个数之间的差值互相为1.
又几个集合中的元素分别来自于1-13的两组数当中，它们之间是互斥的关系。
即黑桃1如果在A中出现，必然不会在B和C中出现。
……
伊诚一路写下来，发现这题是个体力活。
这道题难的不是前面的部分，而在于后面的博弈。
伊诚把前半部分写完。
然后再继续做拆分整理：
A可以拆分成两个集合：顺子集合和非顺子集合，
B拆分为对子集合和单牌集合，
C拆分为顺子集合和非顺集合，
由C先出牌。
那么就会存在集合C顺子比集合A顺子大或者小的两种情况……
然后大致可以得到几种模型：
……
伊诚一边做题一边摇着头。
可以用昨天狼人杀的纳什均衡来做处理，也可以用最笨的穷举法来做。
也就是说，这题注定拉不开分差了。
数量级并不大，其他人通过穷举，2个小时之内肯定能搞定。
哎。
难受啊难受。
伊诚在心底里叹息着。
最后根据不同的牌型，整理出对应的概率模型，并且分别讨论一番。
伊诚这题就算结束了。
ok。
21分到手。
但是这题计算量大，浪费了他差不多一个小时的时间。
……
伊诚继续前进，来到第三题。
【在生日派对上，有一群小伙伴，作为寿星得为他们切蛋糕，蛋糕得保证切得每一块都是同样体积同样奶油，这样才不会有小朋友不开心。
s是xy平面上的一个凸集。
凸集：实数 R （或复数 C 上）向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内。
对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。】
题目中特地对凸集做了解释。
蛋糕是明显的凸集，可以用肉眼就能看出来的。
伊诚对此没有任何疑问。
他继续往下审题——
【假设蛋糕的高度为h，h>0，定义在xyz三维空间中一个点集C={（x，y，z）|（x，y，z∈S，且0小于等于z小于等于h）}
那么C为以S为基准的一个高度为h的蛋糕。
蛋糕的高度是一致的，假定C除了底面之外的其他表面均匀地涂上了奶油。
那么，讲一个平面s划分成k个集合，如果这k个集合的面积想通，且所占的原s的周边长度也相同，则称其为s的一个k完美划分。
如果它的所有划分线都是从一个点出发的线段，则称该划分为一个星状完美划分。
试证明：
任何一个平面凸集均存在3星状完美划分。】
卧槽，一个切蛋糕，你罗里吧嗦说这么多干嘛？
伊诚对出题人的语文水平表示怀疑。
他已经是lv2的文学学习水平，加上8期中国诗词大会擂主，他现在有资格吐槽。
简单来说，比如一个圆，在其中划分一个米字，变成6等分，那么这个米字型划分就被称为6星完美划分。
现在只需要证明的是不管任何形状，只要是凸集，就能3星完美划分。
伊诚开始在草稿上进行论证。
但是工作进行了半个小时，他突然发现——
你妹的这题看起来简单，实际上却非常难。
为什么呢？
因为在证明这个题目之前，需要连续证明7个引理。
这比刺杀雅典娜只差了5宫而已。
伊诚心想，你们就算是7个葫芦娃，老子也要把你们打死。
大娃是：
证明：对于凸集S，存在一个边的3等长划分：S1、S2、S3，满足S1、S2、S3围成的面积均小于S面积的1/3。
二娃：
证明：对于凸集S，S1、S2、S3是S的边的一个等长划分，那么S1、S2、S3所分别围成的面积中至多只有一个不小于S面积的1/3
……
七娃：如果将S的边划分成连续长度相同的三段，这三段分别包围的面积若都不超过S面积的1/3，那么命题得证——任何一个平面凸集均存在3星完美划分。
伊诚只觉得浑身燥热，大汗淋漓。
一路祭出各种法宝，终于把7个葫芦娃一一降服。
最后爷爷就是来送的。
他顺利收下了爷爷。
当他抬起头来的时候，时间已经到了11点半。
没有想到最后这道题这么耗时。
不愧是中国奥数竞赛的题目。
3道题目，就像是过了大半生一样。
卷面上，伊诚密密麻麻写满了字，包括草稿纸都写得满满当当的。
他做完题目，稍微用手按压着太阳穴，让大脑清醒一些。
过了两分钟，开始检查答案。
……
“嘤嘤嘤，孟老师，我对不起您。”
考完试之后，孟老师来接众人。
还没回酒店，几个选手就被考哭了。
武青青一把鼻涕一把泪地说到，“我辜负了您的尊尊教诲，我不配去清北。”
“我也是，我是个垃圾……”江文博哭丧着脸，“我连第一题都没什么把握，第二题穷举到一半时间就没了……”
“你知道吗，你最大的问题就在于思想不正，只想着泡妞。”夏文雨用手指戳他的头。
江文博立刻红了脸，不敢看李安若。
“都怪李安若，前天带着我们玩狼人杀，把脑子玩坏了。”
“哎，你这可就怪不得她了。”伊诚站出来回应道，“要知道今天的斗地主也要运用纳什均衡的。”
“纳什……那是什么鬼？”
众人一脸沮丧。
老孟从众人的表情和刚才的对话中有了一定的判断。
伊诚这个小伙子资质很高，这次的题目肯定难不倒他，看他刚才说得头头是道，应该都答出来了。
另外颜姿琦刚才一语不发，面色有点凝重，恐怕有点麻烦。
其他的几个，年纪最小的方铭宇一脸沉默，不知道思考什么，也许有一定把握。
……
武青青哭天喊地的，跟江文博有得一拼，这两个人估计只能拿一些过程分，想拿到国一估计无望。
更别说是进国家集训队出战明年的IMO了。
“孟老师，您说得对，我只配上江城大学这种二流。”武青青擦掉脸上的眼泪，目露凶光，“我回去以后就改志愿。”
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“不至于不至于。”老孟伸手拍了拍武青青的后脑，“回去再说。”
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