第七十八章 几何测量
“扶着，别动…”沈敏一边对着前方扛着木头尖端的齐彦河吩咐着，一边小心翼翼的用手上类似于十字架的直角仪器观测着远处山顶的角度。在他旁边还站在七、八人拿着纸张记录着他报出的角度。
沈敏一手扶着直角仪的一端，一边转头对着旁边一位身穿半旧不新的白色布袍的读书人热情的说道：“董大郎，你也来观测一下，看看我报的这个角度对不对。”
这位年纪比沈敏稍长的读书人也不推迟，他一边眼睛发亮的走上前接过仪器，一边口中说道：“我倒是在《梦溪笔谈》中看到过一个故事，沈学士曾经用一张弩测出了星辰之间的角度，没想到三郎你居然把弩简化成了这样的仪器，还用来测量山顶和观察人视线夹角的角度。不过这样真的可以测算出山的高度吗？”
“等董大郎观测完毕，你们也一个个轮流上前去观测一次。”沈敏先是吩咐了周边的亲随之后，便对着董先回答道：“岂止能够计算出山的高度，根据我们之前测量的那个角度，加上这两个观测点之间的距离，先计算出两次观测的三角形的内角度数，然后是一条直角边的距离，我们就能计算出任一三角形边长的的长度…”
观测完毕的董先立刻把手中的直角仪交给了别人，然后走到了沈敏身边热情的问道：“三郎说可以计算出任一三角形的边长，这是什么原理？”
沈敏拔出了腰间的一把短刀，到边上的树上砍下了一根合适的树枝，然后削去枝叶和一端，做了一只简易的尖头木棍，这才走到一侧的平地上边画边说道：“哪，我先给你证明一下，任一三角形的内角和都是180度…”
这是一个相当简单的几何入门问题，对于经常自己研究数学和帮助村中农户计算土地面积的董先来说，几乎是一点就透了。
沈敏很快又说道：“任一三角形内角和恒定为180度，那么我们就可以把那座竖立在地面上的山峰当做垂直于地面的一条直角边，而我们之前两次观测的角度，其实就是两个同边直角三角形的两个内角。
以180度减去直角90度和我们观测出的角度，那么我们也就得到了这两个直角三角形三个内角的度数。我们想要知道山的高度，和我们观测时同山的距离，其实就是在求这两条直角边。
那么勾三股四弦五这个定理你应该知道吧？…”
沈敏深入浅出的把直角三角形的边长定理又复述了一边，然后又讲了点最为简单的三角函数。接着把两个直角三角形的边长计算变成了二元一次方程式，把刚刚两个观测点实际量的长度带入进去之后，很快就把远处被观测山峰的高度和远近距离计算了出来。
虽然沈敏已经讲的非常深入浅出了，但在场的几人中能听懂的还不到一半。不过让沈敏有些兴奋的是，并没有接受过基础代数和几何教育的董先，居然是这几人中的一个。这种出色的数学天赋，是他这一路上遇到的读书人中仅有的一位。
在沈敏、董先边上，如同听天书一般的曹乐真，不无嫉妒的看了一眼董先这位乡下教书先生。饶州府因为土壤肥沃，因此物产较为丰饶，加上商旅云集于此，因此这一府的经济此时比江南地方还好上一些，于是家境稍好一些的农户都会挑一两个子弟读书。
董先正是这样被家中挑选出来读书的一人，虽然他小时也算聪慧，但他的父母可没有洪士良的本事，能够花钱延请名师教导他，因此大多靠自学的他连个解试都中不了，只能在村子里教授蒙童为生。
不过他在数学上的天赋，可比解读经义的天赋要好的多，因此常常被乡里请去丈量田地，久而久之倒是培养出了对于数学方面的爱好。只是这种测量土地面积的才能到底不登大雅之堂，而且依靠自学的他还达不到沈括的水准，于是名声也只能传播于乡里罢了。
如果不是沈敏四处走访乡里了解当地的社会状况，董先还真没想过，这数学还能变得这么有趣和深奥。
至于看着两人言谈甚欢，而心生嫉妒的曹乐真，则是乐平县人。曹家虽然在乐平算是大户，但也不过是区区一民户罢了，在洪氏这样的书香门第面前，还是不值一提的。
不过，在洪氏没有发迹之前，两家的关系却是相当密切的。哪怕现在洪氏已经搬到了鄱阳城，双方家族还是有着相当的往来的。曹家其实一直想要借助这样的关系，也给本家培养出几名读书人出来的。
只是洪氏发迹后一直在外仕官，连鄱阳城都很少回来。就算曹家想要弄几名子弟在洪氏家学求学，都没有这个机会。直到这次洪皓去世，洪家仕官的三兄弟回乡守孝，曹家方才觉得这是个好机会，派出了曹乐真等几位族人过来帮忙，顺便也是有意给洪氏挑一挑，哪位子弟能够被洪氏家学收入门下读书。
曹乐真在族内属于旁枝，虽然被选上前来帮忙，可依然被排斥的发往了外院，连洪氏本家的人都碰不到，直到沈敏突然出现在外院。
一开始还有外院的洪氏族人以为，这位是被内院本家赶出来的，还想着去指使欺负一下。不过很快沈敏就狠狠的教训了两个不开眼的洪氏族人，并勒令其中一名挑事的主谋滚出了洪宅，而洪家长房的两位公子还出来支持了这位沈三郎，这才让外院的人都老实了下来。
曹乐真找人打听了这位沈三郎的来历，才发觉人家根底确实深厚。他们这些曹家人只不过想要进洪氏家学学习，并没有什么奢望成为洪氏三兄弟的门生弟子，指的是洪适、洪遵、洪迈三位中了进士的兄弟。
然而这位沈三郎却已经是洪遵的门生了，和他们这些乡党和普通的洪氏族人相比，自然是门生弟子更为亲近了，也难怪两位长房公子出来为他撑腰。
之后这位沈三郎出色的组织才能和大方的手笔，再一次让曹乐真意识到，与其等待洪氏家人的赏识，倒不如获得这位沈三郎的赏识，也许更能达成他的心愿。
只是，越是向这位沈三郎靠近，曹乐真就发觉这位比自己还要年轻的洪氏门生，颇有深不可测的才能。让他觉得，其实求一个洪氏家学的读书名额，还不如跟在这位沈三郎身边有前途。毕竟这位偶尔展现出来的才能，可比那些经书更适合让人出人头地。
唯一遗憾的是，原本还觉得自己学问还不错的曹乐真，站在了这位沈三郎的面前，就好像是一个才开蒙的学童，不管什么事都要先向对方请教一二，方才能够更好的完成对方交代的任务，这样的情形就让他有些如履薄冰的感觉了。
于是在董先冒出来之后，看到这位乡村的教书先生如此得到沈三郎的看重，也不由让他开始担忧自己的地位不保，被董大郎抢了自己的位置去。
不过和见机及快，跟了沈敏两天就想要追随沈敏的曹乐真不同，虽然董先很是仰慕沈敏显现出来的学问，可是他还是婉拒了沈敏邀请他前往临安研究数学的邀约。
董先感激的对沈敏拱手行礼后说道：“某确实对于子义所言的几何学问极感兴趣，但家中还有寡母妻子，某要是跟着三郎去了临安，家中就没人照顾了。
再说了，数学不过是某之爱好，这门学问并不能经世济国，哪怕学的再精，也不过是吏才而已。某家中尚有数顷薄田可维持生计，又何必去临安城浪费时间，还是过现在这样的悠闲日子最适合不过了。
只是，某还想请教三郎一声，这几何的学问究竟出自何处，能否让某抄录一份，以做研究呢？”
沈敏一时也是无语，不过他很快就恢复了过来，对着董先说道：“数学是一切真理的基础，绝不是一门无用的学问。也罢，现在我自己也没有在临安城安顿下来，这事我们来日再说。至于几何的学问来自于极西之地，是一位叫欧几里得的学者奠定的基础，他的著作叫做《几何原本》…”
“沈家三郎，洪二老爷正在找你，你赶紧回大宅一趟吧。”一名洪家家仆隔着一片水塘远远的向他们这边喊道。
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沈敏一手扶着直角仪的一端，一边转头对着旁边一位身穿半旧不新的白色布袍的读书人热情的说道：“董大郎，你也来观测一下，看看我报的这个角度对不对。”
这位年纪比沈敏稍长的读书人也不推迟，他一边眼睛发亮的走上前接过仪器，一边口中说道：“我倒是在《梦溪笔谈》中看到过一个故事，沈学士曾经用一张弩测出了星辰之间的角度，没想到三郎你居然把弩简化成了这样的仪器，还用来测量山顶和观察人视线夹角的角度。不过这样真的可以测算出山的高度吗？”
“等董大郎观测完毕，你们也一个个轮流上前去观测一次。”沈敏先是吩咐了周边的亲随之后，便对着董先回答道：“岂止能够计算出山的高度，根据我们之前测量的那个角度，加上这两个观测点之间的距离，先计算出两次观测的三角形的内角度数，然后是一条直角边的距离，我们就能计算出任一三角形边长的的长度…”
观测完毕的董先立刻把手中的直角仪交给了别人，然后走到了沈敏身边热情的问道：“三郎说可以计算出任一三角形的边长，这是什么原理？”
沈敏拔出了腰间的一把短刀，到边上的树上砍下了一根合适的树枝，然后削去枝叶和一端，做了一只简易的尖头木棍，这才走到一侧的平地上边画边说道：“哪，我先给你证明一下，任一三角形的内角和都是180度…”
这是一个相当简单的几何入门问题，对于经常自己研究数学和帮助村中农户计算土地面积的董先来说，几乎是一点就透了。
沈敏很快又说道：“任一三角形内角和恒定为180度，那么我们就可以把那座竖立在地面上的山峰当做垂直于地面的一条直角边，而我们之前两次观测的角度，其实就是两个同边直角三角形的两个内角。
以180度减去直角90度和我们观测出的角度，那么我们也就得到了这两个直角三角形三个内角的度数。我们想要知道山的高度，和我们观测时同山的距离，其实就是在求这两条直角边。
那么勾三股四弦五这个定理你应该知道吧？…”
沈敏深入浅出的把直角三角形的边长定理又复述了一边，然后又讲了点最为简单的三角函数。接着把两个直角三角形的边长计算变成了二元一次方程式，把刚刚两个观测点实际量的长度带入进去之后，很快就把远处被观测山峰的高度和远近距离计算了出来。
虽然沈敏已经讲的非常深入浅出了，但在场的几人中能听懂的还不到一半。不过让沈敏有些兴奋的是，并没有接受过基础代数和几何教育的董先，居然是这几人中的一个。这种出色的数学天赋，是他这一路上遇到的读书人中仅有的一位。
在沈敏、董先边上，如同听天书一般的曹乐真，不无嫉妒的看了一眼董先这位乡下教书先生。饶州府因为土壤肥沃，因此物产较为丰饶，加上商旅云集于此，因此这一府的经济此时比江南地方还好上一些，于是家境稍好一些的农户都会挑一两个子弟读书。
董先正是这样被家中挑选出来读书的一人，虽然他小时也算聪慧，但他的父母可没有洪士良的本事，能够花钱延请名师教导他，因此大多靠自学的他连个解试都中不了，只能在村子里教授蒙童为生。
不过他在数学上的天赋，可比解读经义的天赋要好的多，因此常常被乡里请去丈量田地，久而久之倒是培养出了对于数学方面的爱好。只是这种测量土地面积的才能到底不登大雅之堂，而且依靠自学的他还达不到沈括的水准，于是名声也只能传播于乡里罢了。
如果不是沈敏四处走访乡里了解当地的社会状况，董先还真没想过，这数学还能变得这么有趣和深奥。
至于看着两人言谈甚欢，而心生嫉妒的曹乐真，则是乐平县人。曹家虽然在乐平算是大户，但也不过是区区一民户罢了，在洪氏这样的书香门第面前，还是不值一提的。
不过，在洪氏没有发迹之前，两家的关系却是相当密切的。哪怕现在洪氏已经搬到了鄱阳城，双方家族还是有着相当的往来的。曹家其实一直想要借助这样的关系，也给本家培养出几名读书人出来的。
只是洪氏发迹后一直在外仕官，连鄱阳城都很少回来。就算曹家想要弄几名子弟在洪氏家学求学，都没有这个机会。直到这次洪皓去世，洪家仕官的三兄弟回乡守孝，曹家方才觉得这是个好机会，派出了曹乐真等几位族人过来帮忙，顺便也是有意给洪氏挑一挑，哪位子弟能够被洪氏家学收入门下读书。
曹乐真在族内属于旁枝，虽然被选上前来帮忙，可依然被排斥的发往了外院，连洪氏本家的人都碰不到，直到沈敏突然出现在外院。
一开始还有外院的洪氏族人以为，这位是被内院本家赶出来的，还想着去指使欺负一下。不过很快沈敏就狠狠的教训了两个不开眼的洪氏族人，并勒令其中一名挑事的主谋滚出了洪宅，而洪家长房的两位公子还出来支持了这位沈三郎，这才让外院的人都老实了下来。
曹乐真找人打听了这位沈三郎的来历，才发觉人家根底确实深厚。他们这些曹家人只不过想要进洪氏家学学习，并没有什么奢望成为洪氏三兄弟的门生弟子，指的是洪适、洪遵、洪迈三位中了进士的兄弟。
然而这位沈三郎却已经是洪遵的门生了，和他们这些乡党和普通的洪氏族人相比，自然是门生弟子更为亲近了，也难怪两位长房公子出来为他撑腰。
之后这位沈三郎出色的组织才能和大方的手笔，再一次让曹乐真意识到，与其等待洪氏家人的赏识，倒不如获得这位沈三郎的赏识，也许更能达成他的心愿。
只是，越是向这位沈三郎靠近，曹乐真就发觉这位比自己还要年轻的洪氏门生，颇有深不可测的才能。让他觉得，其实求一个洪氏家学的读书名额，还不如跟在这位沈三郎身边有前途。毕竟这位偶尔展现出来的才能，可比那些经书更适合让人出人头地。
唯一遗憾的是，原本还觉得自己学问还不错的曹乐真，站在了这位沈三郎的面前，就好像是一个才开蒙的学童，不管什么事都要先向对方请教一二，方才能够更好的完成对方交代的任务，这样的情形就让他有些如履薄冰的感觉了。
于是在董先冒出来之后，看到这位乡村的教书先生如此得到沈三郎的看重，也不由让他开始担忧自己的地位不保，被董大郎抢了自己的位置去。
不过和见机及快，跟了沈敏两天就想要追随沈敏的曹乐真不同，虽然董先很是仰慕沈敏显现出来的学问，可是他还是婉拒了沈敏邀请他前往临安研究数学的邀约。
董先感激的对沈敏拱手行礼后说道：“某确实对于子义所言的几何学问极感兴趣，但家中还有寡母妻子，某要是跟着三郎去了临安，家中就没人照顾了。
再说了，数学不过是某之爱好，这门学问并不能经世济国，哪怕学的再精，也不过是吏才而已。某家中尚有数顷薄田可维持生计，又何必去临安城浪费时间，还是过现在这样的悠闲日子最适合不过了。
只是，某还想请教三郎一声，这几何的学问究竟出自何处，能否让某抄录一份，以做研究呢？”
沈敏一时也是无语，不过他很快就恢复了过来，对着董先说道：“数学是一切真理的基础，绝不是一门无用的学问。也罢，现在我自己也没有在临安城安顿下来，这事我们来日再说。至于几何的学问来自于极西之地，是一位叫欧几里得的学者奠定的基础，他的著作叫做《几何原本》…”
“沈家三郎，洪二老爷正在找你，你赶紧回大宅一趟吧。”一名洪家家仆隔着一片水塘远远的向他们这边喊道。
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